sábado, 23 de junio de 2007

Acertijos 3

1. CINCO PATATAS Y SEIS NIÑOS. Una madre tiene 6 niños y 5 patatas. ¿Cómo puede distribuir las patatas uniformemente entre los 6 niños? (No valen fracciones).

2. BOLAS EN CAJAS. ¿Cómo podremos disponer 9 bolas en 4 cajas de forma que cada una tenga un número impar de bolas y distinto del de cada una de las otras tres?

3. CIFRAS IMPARES. ¿Es posible mediante cinco cifras impares sumar 20?

4. 10 y 11 MONEDAS EN TRES VASOS. Al meter 11 monedas en tres vasos, de forma que cada vaso contenga un número impar de monedas; podemos conseguirlo de muchas formas. Por ejemplo, poniendo 7 monedas en un vaso, 3 en otro y, 1, en el último. Sin embargo, ¿sabría Vd. distribuir 10 monedas en estos mismos tres vasos, de modo que siga habiendo un número impar de monedas en cada vaso? El asunto es factible, pero tendrá que ocurrírsele una triquiñuela para lograrlo.

5. LA HERENCIA DE 17 CAMELLOS. Un árabe dejó al morir a sus tres hijos una herencia de 17 hermosos camellos, especificando que habían de repartirla de la siguiente manera: al mayor la mitad de los camellos, al mediano la tercera parte, y al menor la novena parte. Los jóvenes herederos estaban desesperados, ya que evidentemente no podían repartir los 17 camellos de esta manera sin la colaboración del carnicero. Buscaron finalmente los consejos de un anciano y sabio amigo que prometió su ayuda. Al siguiente día se presentó en la cuadra llevando un camello de su propiedad. Lo juntó a los 17 y dijo a los hermanos que ya podían proceder al reparto. El mayor se llevó la mitad de los 18, o sea 9, el mediano un tercio de los 18, es decir 6; y el pequeño un noveno de los 18, o sea 2. Cuando ya se hubieron llevado los 17 primeros camellos, el anciano cogió el suyo y se marchó. ¿El truco?

6. HERENCIA DE 39 VACAS. Un padre repartió entre sus cuatro hijos 39 vacas. Al primero quería dejarle la mitad de las vacas, al segundo la cuarta parte, al tercero la octava parte y al cuarto la décima parte. No sabía como hacerlo hasta que un vecino le prestó una vaca más; con 40 vacas pudo dar al primero 20, al segundo 10, al tercero 5 y al cuarto 4, y devolvió la vaca al vecino. ¿Lo hizo bien? ¿Podrías explicar qué ocurre?

7. SUMA DE TRES CIFRAS IGUALES. Una suma con tres cifras iguales da como resultado 60. Los números no son el 20. ¿Cuáles serán los números?

8. CON SOLO UNA RAYITA. Agregue una sola rayita, cortita y derecha, a los dos números 10 para que el resultado sea 9'50. 10 10. (En 10 segundos).

9. PRODUCTO ALFABÉTICO. Calcular el valor del siguiente producto:

(x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ?

10. LOS TERRONES Y EL AZÚCAR. Se tienen tres tazas de café y catorce terrones de azúcar. ¿Cómo endulzar las tres tazas empleando un número impar de terrones en cada una?

11. UN REPARTO DE MANZANAS. Repartir 9 manzanas entre 12 niños. El reparto se desea hacer de tal modo, que ninguna manzana sea dividida en más de 4 partes.

12. ¿CÓMO OBTENER VEINTE?. Tacha seis de las cifras escritas al lado, de tal modo, que los números que queden sumen 20.

13. EN EL ESPEJO. ¿Qué año del siglo XIX aumenta 4 veces y media si se mira su imagen en el espejo?

14. CABEZA ABAJO. ¿Hay algún año del siglo XX que no varíe al ponerlo cabeza abajo?

15. MULTIPLICANDO DÓLARES. Al multiplicar 10 metros por 10 metros da 100 metros cuadrados. ¿Cuánto da 10 dólares por 10 dólares?

16. POBRE PÍO. En una lápida podía leerse esta inscripción: «Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento». ¿A qué edad murió?

17. POR SUMA 21. Elige seis dígitos de los de la ilustración que sumados den 21.

9

9

9

5

5

5

3

3

3

1

1

1

18. QUITAR LA MITAD. ¿Qué número, si se le quita la mitad, da cero?

19. QUITAR LOS DOS TERCIOS. ¿Qué número, si se le quitan los dos tercios, da cero?

20. RESTANDO, RESTANDO. ¿Cuántas veces puede sustraerse 37 de 120?

21. ESTAMPILLAS POR DOCENAS. Si hay doce estampillas de un centavo en una docena, ¿cuántas estampillas de dos centavos habrá en una docena?

22. NUMERO AL REVES. ¿Cuál es el número que al revés vale menos?

23. DIVISIBILIDAD POR 7. El número 349 no es divisible por 7, pero se puede hacer que lo sea alternando la posición de sus cifras. ¿Cómo?

24. PRIMOS CAPICÚAS. Números primos capicúas entre 100 y 200 hay 5 que son: 101, 131, 151, 181 y 191. Números primos capicúas entre 300 y 400 hay 4 que son: 313, 353, 373 y 383. ¿Cuántos números primos capicúas hay entre 200 y 300?

25. EL SÍMBOLO INTERCALADO. Sitúese un símbolo matemático conocido entre 2 y 3, a fin de expresar un número mayor que 2 y menor que 3.

26. ENMENDAR LA MULTIPLICACIÓN. ¿Cómo puede enmendarse esta simple multiplicación (que tal como aparece está mal), sin agregar, ni quitar, ni escribir nada? 81 x 9 = 801.

27. TARDARÁ EN SUCEDER. ¿Qué es lo que sucedió hace poco más de cien años, volvió a suceder hace más de 30 años, pero tardará cerca de cuatro mil años en volver a ocurrir?

28. SOLAMENTE UN TRACITO RECTO. Agregue solamente un tracito recto para que la igualdad resulte correcta. (El signo de igual no debe alterarse). 5+5+5 = 550.

29. INTERCALAR DOS SIGNOS. Intercalar dos signos aritméticos entre los dígitos 4, 5 y 6 para que el resultado sea el número 27.

30. NUMEROS ROMANOS. Sin utilizar signos aritméticos, escribir 1.000 con tres números romanos.

31. BOLAS EN UNA CAJA. ¿Cuántas bolas de 10 cm. de diámetro pueden meterse en una caja vacía, de forma cúbica y 1 m. de lado?

32. BILLETES EN LOS BOLSILLOS. Un escocés tiene 44 billetes de una libra, y tiene 10 bolsillos. ¿Cómo puede repartir el dinero por los bolsillos para llevar en todos sumas distintas?

33. ANOTANDO DÍGITOS. Observa con cuánta rapidez puedes anotar los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante, luego controla la respuesta para ver si has seguido bien las instrucciones.

34. SIETE HIJOS, DOS POLLOS. Una mamá tiene marido y 7 hijos, de 13, 11, 9, 7, 5, 3 y 1 años. Cocina 2 pollos. Los mayores de 10 años quieren pechuga, y los menores, muslo. ¿Habrá para dar gusto a todos?

35. LOS BOMBONES. Dos amigos tienen una caja de bombones con 200 bombones. Cada uno tarda 10 segundos en comerse un bombón. ¿Podrán comerse entre los dos todos los bombones de la caja en 17 minutos?

36. RECOLECTANDO FRESAS. Si un campesino puede recolectar cuatro cestos de fresas en una hora y una campesina puede recolectar dos, ¿cuántos cestos recolectarán juntos en una hora?

37. QUINCE MENOS NUEVE. Tienes 15 ptas., pierdes 9, ¿qué tienes en el bolsillo?

38. SUICIDIOS. ¿Por qué se suicidan muchos de los que estudian matemáticas?

39. DE DERECHAS. Sólo vale si está a la derecha. ¿Qué es?

40. ÚNICO NÚMERO. ¿Cuál es el único número que tiene tantas letras como indica su cifra?

41. REDONDO-REDONDO. El número 61030 es "cuasi-redondo", pues bastan dos trazos rectilíneos para que sea totalmente redondo. ¿Cuáles son?

42. LA ECUACIÓN DEL SOLITARIO. Sin efectuar operaciones, hallar el valor de A.

A = 83 875 683 470² - (83 875 683 469 x 83 875 683 471)

43. FAMOSO MONÓLOGO. ¿Qué conocido monólogo comienza por la expresión lógico-simbólica?

2 B V ~ 2 B = ?

44. LA MITAD. ¿Cuál es la mitad de "2 + 2"?

45. PRENDIDOS Y APAGADOS. Tengo 18 focos prendidos, ¿cuántos me quedan apagados?

46. LA SUMA. La siguiente suma tiene que dar por resultado 16. Todos los números deben ser sumados. ¿Cómo?

2
2
4
2
6
2
8
8
----------
16

47. PASTELES POR DOCENAS. ¿Por qué se acostumbra a pedir en las pastelerías, los pasteles por docenas o fracciones de docenas?

48. EL DEL AMOR. ¿Cuál es el número del amor?

49. NO ES LO QUE PARECE. En las siguientes igualdades el signo "+" no quiere decir "más" ¿Qué significa, entonces?

1 + 4 = 3
4 + 6 = 7
6 + 4 = 8

50. LA TERNA SIMILAR. Los números primos 3, 5 y 7 forman una terna. La diferencia entre uno de ellos y el anterior es igual a dos. ¿Existirá otra terna de primos similar?

51. ¿PRIMO CON LOS 9 DÍGITOS?. ¿Habrá algún número primo formado por los nueve dígitos del 1 al 9, puestos en el orden que sea pero que ninguno se repita?

52. PATAS ARRIBA (1). Encontrar un número primo de dos dígitos que mirado patas arriba también es primo. Hay tres soluciones.

53. PATAS ARRIBA (2). Encontrar un número primo de tres dígitos que mirado patas arriba también es primo. Hay siete soluciones.

54. CURIOSA DEMOSTRACIÓN. En poco tiempo, sin calculadora, ni ordenador, demostrar que 999.991 es primo.

55. MISMO NUMERO DE PELOS. La población de una cierta ciudad es mayor de 200.000 personas. ¿Habrá en ella dos habitantes que tengan el mismo numero de pelos en la cabeza?

56. CAMBIANDO MONEDAS. Si yo le doy a Vd. 10 centavos por cada moneda de 25 centavos que Vd. pueda mantener parada de canto, y si Vd. logra mantener paradas tres monedas, ¿cuánto dinero ganaría usted?
Solución. Usted perdería 45 centavos. Yo le di 30 centavos a cambio de las tres monedas de 25.

57. SUMA = PRODUCTO. ¿Qué tres números enteros positivos tienen una suma igual a su producto?

58. PRODUCTO DE PRIMOS. Observe los productos siguientes: 1x2=2 que es primo, 1x3=3 que también es primo. Encuentre dos números primos entre 10 y 50 tales que el resultado de su producto también sea primo.

59. MÚLTIPLOS PRIMOS. De todos los múltiplos de un número primo, ¿cuántos son primos?

60. POBRE GRANJERO. Un granjero tiene 15 ovejas. Se le mueren 7. ¿Cuántas ovejas le quedan?

61. SUMAR A LA SUMA. ¿Qué número debería sumarse a cada uno de los términos de la siguiente suma, incluido el resultado, para que sea una operación correcta?

160 + 718 + 493 = 1421

62. EL NÚMERO 666. Será Vd. capaz de aumentar una vez y media el número 666 sin realizar ningún tipo de operación aritmética.

63. EL QUEBRADO. ¿Puede un quebrado, en el que el numerador es menor que el denominador, ser igual a otro quebrado, en el que el numerador es mayor que el denominador?

64. PRIMOS CAPICÚAS. Después del 11, ¿sabe Vd. cuáles son los tres siguientes números primos capicúas?

65. CON LAS 5 CIFRAS. Escribe las cifras {2,5,6,7,8} en los cinco espacios señalados, de modo que se cumpla la igualdad.

_ _ x _ = _ 7 _

66. DE QUEVEDO. Con un ciento y un cinco, cincuenta y cero, se consigue en la corte cualquier empleo. Coge la pluma y en números romanos, dime la suma.

67. CUATRO es la MITAD de CINCO. Mi primo dice que es cierto. ¿A Vd. qué le parece?

68. EL NÚMERO 3. Si Vd. escribe todos los números comprendidos entre 300 y 400 en un papel, ¿cuántas veces habrá escrito el número 3?

69. ÚNICO EN SU CLASE. El número 0.542.986.731 es el único de su clase. ¿Cuál es la característica tan especial que tiene?

70. EL FRUTERO. El frutero vendió en el mercado, la mitad de los melones que llevaba más medio melón. Después se comió el melón que le quedó. ¿Cuántos melones llevó al mercado.

SOLUCIONES:

SOLUCIONES DE ARITMÉTICOS
(Última actualización: ABRIL-2002)

Si conoce Vd. alguna que sea válida y distinta a la que aparece, no dude en enviármela:E-MAIL

1. CINCO PATATAS Y SEIS NIÑOS. En puré, naturalmente. Esta solución es válida sea cual sea el número de niños y el número de patatas. En un concurso celebrado en el instituto Fray Luis de León de Salamanca, uno de los alumnos (Moisés González Sánchez) dio una solución muy original, que aunque aceptamos en este caso concreto, no sería válida en otros. La solución que aportó fue la siguiente: Se colocan en fila los 6 niños y se intercalan las patatas entre ellos: N p N p N p N p N p N.

2. BOLAS EN CAJAS. Tres cajas pequeñas, conteniendo 1, 3 y 5 bolas respectivamente se hallan dentro de una caja mayor que las contiene a todas (9).

3. CIFRAS IMPARES. Si. 1 + 1 + 5 + 13 = 20.

4. 10 y 11 MONEDAS EN TRES VASOS. Poner 7 en un vaso, 2 en otro y, 1, en el último, pero meter el vaso que contiene 1 dentro del vaso que contiene 2. Existen en total 15 soluciones. ¿Se atreve Vd. a encontrarlas? Las demás: 1-0-9, 1-2-7, 1-4-5, 1-6-3, 1-8-1, 3-0-7, 3-2-5, 3-4-3, 3-6-1, 5-0-5, 5-2-3, 5-4-1, 7-0-3, 9-0-1. (El tercer vaso se mete dentro del segundo).

5. LA HERENCIA DE 17 CAMELLOS. Está contenido en las estipulaciones del padre, que o no andaba muy bien de Aritmética o quiso dar a sus hijos algo en qué pensar; pues resulta que la suma de las fracciones 1/2, 1/3 y 1/9 no da como resultado, la unidad, como tenía que ocurrir si se quiere que no sobre nada, sino que es igual a 17/18.

6. HERENCIA DE 39 VACAS. Idéntico al anterior.

7. SUMA DE TRES CIFRAS IGUALES. 55 + 5 = 60.

8. CON SOLO UNA RAYITA. Ponga diez menos diez, que, como todos los que tenemos reloj sabemos, es lo mismo que nueve y cincuenta.

9. PRODUCTO ALFABÉTICO. Cero. Uno de los factores vale cero, éste es (x-x).

10. LOS TERRONES Y EL AZÚCAR. Por ejemplo: poniendo un terrón en cada taza. En ningún momento se dice que haya que utilizar todos los terrones.

11. UN REPARTO DE MANZANAS. Cada niño recibe: 1/2 + 1/4 = 3/4 = 9/12 de manzana. Seis manzanas se dividen en dos partes cada una y las tres restantes se dividen en cuatro partes cada una.
Otra Solución. Enviada por Diego Focanti desde Buenos Aires, Argentina. Quitando un cuarto a cada manzana, 9 niños reciben tres cuartos en una pieza; los otros 3 reciben tres trozos de un cuarto de manzana cada uno. Por tanto, cada niño tiene 3/4 de manzana y todas han sido divididas en dos partes.

12. ¿CÓMO OBTENER VEINTE? Tacha el primer uno, los tres sietes y los dos primeros nueves. En efecto, 11+9=20.

13. EN EL ESPEJO. Las únicas cifras que no se desfiguran en el espejo son 1, 0 y 8. El año que se busca es el 1818. 1818 x 4½ = 8181.

14. CABEZA ABAJO. El año 1961.

15. MULTIPLICANDO DÓLARES. La pregunta no tiene sentido. Los dólares pueden sumarse entre sí, o restarse entre sí, pero no pueden multiplicarse o dividirse por algo que no sea un número puro.

16. POBRE PÍO. Nació en 1953. Murió a los 18 años.

17. POR SUMA 21. Invierta la hoja y elija tres 6 y tres 1.

18. QUITAR LA MITAD. El 8.

19. QUITAR LOS DOS TERCIOS. UNO, DOS.

20. RESTANDO, RESTANDO. a) Una vez. La segunda vez se restará de un número menor que 120. b) También vale decir que infinitas veces.

21. ESTAMPILLAS POR DOCENAS. Doce.

22. NUMERO AL REVES. El nueve.

23. DIVISIBILIDAD POR 7. 364.

24. PRIMOS CAPICÚAS. Ninguno. Si hubiera alguno terminaría en 2 y por tanto no sería primo.

25. EL SÍMBOLO INTERCALADO. a) 2,3. b) 2ln3 = 2'19.

26. ENMENDAR LA MULTIPLICACIÓN. Ponga el papel boca abajo, y quedará que 108 = 6 x 18, lo cual es una multiplicación correcta.

27. TARDARÁ EN SUCEDER. Lo que ocurrió fueron años que mirados al revés (patas arriba) daban el mismo año: 1881, 1961, 6009.

28. SOLAMENTE UN TRACITO RECTO. 545+5 = 550.

29. INTERCALAR DOS SIGNOS. 4'5 x 6 = 27.

30. NUMEROS ROMANOS. MIL. IVI.

31. BOLAS EN UNA CAJA. Una. Tras meter ésta, la caja ya no está vacía.

32. BILLETES EN LOS BOLSILLOS. Si vamos poniendo en cada bolsillo las mínimas cantidades posibles. El primer bolsillo contendría cero billetes, el segundo, uno, el tercero, dos, y así sucesivamente, hasta el décimo bolsillo, donde meteríamos nueve billetes. Ahora bien, 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, que rebasa el número de billetes disponibles. Evidentemente, no hay forma de rebajar el número de billetes de ningún bolsillo sin incurrir en repeticiones.

33. ANOTANDO DÍGITOS. Los dígitos de 9 a 1 de atrás para adelante son: 1-2-3-4-5-6-7-8-9.

34. SIETE HIJOS, DOS POLLOS. No, a no ser que dé al pequeño una tortilla francesa con las alas de los dos pollos.

35. LOS BOMBONES. No, les harían daño.

36. RECOLECTANDO FRESAS. Juntos no recolectarán ninguno.

37. QUINCE MENOS NUEVE. Un agujero.

38. SUICIDIOS. Porque tienen muchos problemas.

39. DE DERECHAS. El cero.

40. ÚNICO NÚMERO. El cinco.

41. REDONDO-REDONDO. GLOBO.

42. LA ECUACIÓN DEL SOLITARIO. A = a² - (a-1)(a+1) = a² - (a² - 1) = 1.

43. FAMOSO MONÓLOGO. «To be or not to be, that is the question».

44. LA MITAD. El signo +.

45. PRENDIDOS Y APAGADOS. 16, porque prendí dos.

46. LA SUMA. 2 y 2 son 4, 4 y 2 son 6, 6 y 2 son 8 y 8, 16.

47. PASTELES POR DOCENAS. Porque 6, 12, 18, 24, ... a la hora de repartir tienen más divisores que los demás números.

48. EL DEL AMOR. El 591. Cinco minutos de placer, nueve meses de embarazo y uno más en la familia.

49. NO ES LO QUE PARECE. El signo "+" quiere decir "más la mitad de". Por ejemplo: 1 "más la mitad de" 4 es igual a 3.

50. LA TERNA SIMILAR. No existe otra terna similar. De tres números impares consecutivos, uno es obligatoriamente múltiplo de tres.

51. ¿PRIMO CON LOS 9 DÍGITOS?. No. Cualquier número formado por los nueve dígitos del 1 al 9 es múltiplo de 9, ya que la suma de esos nueve dígitos es 45, múltiplo de 9.

52. PATAS ARRIBA (1). 19, 61 y 11.

53. PATAS ARRIBA (2). 101, 109, 181, 199, 601, 619, y 661.

54. CURIOSA DEMOSTRACIÓN. No es primo ya que 999.991 = 1.000.000 - 9 = 1.0002 - 32 = (1.000 - 3)(1.000 + 3) = 997 x 1.003.

55. MISMO NUMERO DE PELOS. En los humanos, el número de cabellos no supera los 100.000. Si no hubiera dos cabezas iguales, en el mejor de los casos podría suceder que hubiese un calvo, una persona con un solo pelo, otra con dos, y así sucesivamente. Pero tan pronto pasamos de las 100.000 personas con distintos números de pelos, nos vemos obligados a repeticiones. El ciudadano 100.001 tiene con certeza el mismo número de pelos que alguno de los primeros 100.000. Y como la población es mayor de 200.000 habitantes, no solo habrá dos personas de iguales pelambreras a las de alguna otra, ¡sino unas 100.000!

56. CAMBIANDO MONEDAS. Usted perdería 45 centavos. Yo le di 30 centavos a cambio de las tres monedas de 25.

57. SUMA = PRODUCTO. 1+2+3 = 1x2x3.

58. PRODUCTO DE PRIMOS. Imposible. Si axb=c, el número c ya no es primo.

59. MÚLTIPLOS PRIMOS. Ninguno.

60. POBRE GRANJERO. Quince. Ocho vivas y siete muertas.

61. SUMAR A LA SUMA. 185 + 743 + 518 = 1446.

62. EL NÚMERO 666. Escriba el número en un papel y después gire el papel 180 grados. Quedará el 999.

63. EL QUEBRADO. Sí. Por ejemplo (-2)/3 = 4/(-6).

64. PRIMOS CAPICÚAS. 101, 131 y 151.

65. CON LAS 5 CIFRAS. 7 2 x 8 = 5 7 6.

66. DE QUEVEDO. CVLO.

67. CUATRO es la MITAD de CINCO. Es cierto. El número romano CUATRO (IV) está en el centro de la palabra cinco en inglés: F(IV)E.

68. EL NÚMERO 3. 120 veces.

69. ÚNICO EN SU CLASE. Es el único número que tiene todos los dígitos dispuestos en orden alfabético.

70. EL FRUTERO. 3.

ESTRATEGIAS - JUEGOS
(Última actualización: ENERO-2002)

1. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último gana. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

3. LLEGAR A 50. Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Veamos una partida:

Primer jugador

3

4

1

5

4

5

1

Segundo jugador

5

4

3

5

4

1

5

Suma total

3

8

12

16

17

20

25

30

34

38

43

44

45

50

¡Gana el segundo jugador!
Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

4. UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O
O O O O O

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada).
Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

5. LA MESA Y LAS MONEDAS. Tenemos una mesa cuadrada, rectangular, redonda, etc. y monedas iguales en abundancia. Dos jugadores empiezan a colocar alternadamente, sobre la mesa, monedas una a una; esto es, el primer jugador coloca una moneda; acto seguido coloca otra moneda el 2º jugador; de nuevo el primero, y así sucesivamente. Pierde el que se vea forzado a colocar una moneda que sobresalga de la mesa. Y no vale solaparlas.
La solución general es que pierde el jugador que tenga que hacer su movimiento a partir de una posición simétrica, ya que el adversario podrá siempre restablecer la simétrica sin perder.
¿Qué estrategia ha de seguir el primer jugador para estar seguro de ganar?

6. FORMANDO TRIÁNGULOS. Con tres rectas en el plano, el número máximo de triángulos que se pueden formar es uno. Investiga, cuál es el número máximo de triángulos que se pueden formar con 4, 5, 6, ..., n rectas.

7. QUITAR DEL MONTÓN. Este es un juego para dos jugadores, A y B. Se coloca un montón de 45 piedrecillas sobre la mesa. Juega A y puede quitar entre 1 y 7 piedras. Juega B y puede quitar entre 1 y 7 piedras. Juega A... Gana el que se lleve la última piedra. ¿Hay alguna estrategia para alguno de los jugadores, de modo que esté seguro de ganar? ¿Cómo varía la situación cuando se varía el número de piedras? ¿Y si pierde el que se lleve la última?

8. LOS POLLOS DEL MAIZAL. En una granja de New Jersey había dos pollos que siempre se metían en el jardín, prestos a desafiar a cualquiera que intentara atraparlos.

¿En cuántos movimientos el buen granjero y su esposa pueden apresar a las dos aves?
El campo está dividido en 64 cuadrados, delimitados por las plantas de maíz. Para poder atrapar a los pollos se puede ir de arriba a abajo o de izquierda a derecha.
Primero el granjero y su esposa se desplazan cada uno un cuadrado y luego cada uno de los pollos hace también un movimiento. Se prosigue por turnos hasta acorralar y capturar a los pollos. La captura se produce cuando el granjero o su esposa pueden irrumpir en un cuadrado ocupado por una de las aves.

9. UN CALENDARIO CON DOS CUBOS. Para señalar el día se colocan los cubos de manera que sus caras frontales den la fecha. En cada cubo, cada una de las caras porta un número del 0 a 9, distribuidos con tanto acierto que siempre podemos construir las fechas 01, 02, 03, ..., 31 disponiéndolos adecuadamente.

¿Sabe Vd. cuáles son los cuatro dígitos no visibles en el cubo de la izquierda, y los tres ocultos en el de la derecha?

10. SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS. Utilizaremos para ello una hoja mensual de calendario.A fin de simplificar, elegimos una hoja de un mes de abril que tiene cinco jueves.
Se trata de adivinar la suma de 5 días del mes, elegidos al azar, uno de cada semana y sólo conociendo en el día de la semana en qué caen.

En el ejemplo de la figura, hay que adivinar la suma de los cinco tachados con el único dato de que uno cae en lunes, dos en miércoles, uno en jueves y otro en sábado.
¿Sabría Vd. emplear algún procedimiento para poder adivinar dicha suma con las condiciones exigidas?

11. RECTÁNGULOS OBSTINADOS. En una hoja de papel cuadriculado dibujamos un rectángulo formado por dos cuadrados. Trazamos una diagonal del rectángulo y observamos que corta a los dos cuadrados. Haciendo lo mismo con un rectángulo mayor, de dos por tres cuadrados, la diagonal corta a cuatro cuadrados. ¿Cuántos cuadrados cortará la diagonal de un rectángulo de seis por siete cuadrados? Se debe hacer sin dibujar el rectángulo y sin contar los cuadrados. ¿Se puede encontrar alguna regla?

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12. EL BIOP. El Biop es un juego para dos personas que juegan alternativamente en un tablero cuadriculado de 5x5, cada jugada consiste en colocar en una casilla desocupada un número del 0 al 24, teniendo en cuenta que dos casillas adyacentes(al menos un punto en común) no pueden tener dos números consecutivos. No se puede repetir ningún número. Los extremos 0 y 24 se consideran consecutivos.
Pierde el que no pueda efectuar una jugada legal.
¿Existe una estrategia que permite al primer jugador ganar siempre?

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13. LAS FICHAS DEL TABLERO. Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero, como se indica en la figura, se juega un solitario. Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado y negra por el otro. Inicialmente sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de las fichas tiene la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento se retira sólo una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupan una casilla vecina. Casillas vecinas son las que están unidas por un segmento. Después de varios movimientos, ¿será posible retirar todas las fichas del tablero?

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CRUZANDO EL RÍO. En los (8) problemas propuestos a continuación, se trata de cumplir la tarea en la menor cantidad de travesías.

14. ZORRO, CABRA Y REPOLLO (1). Un hombre debe llevar un zorro, una cabra y un repollo al otro lado de un río. El bote sólo da cabida al hombre y a una de sus tres posesiones. Si lleva consigo al repollo, el zorro se manduca a la cabra. Si lleva el zorro, la cabra se manduca el repollo. Únicamente estando presente el hombre quedan la cabra y el repollo a salvo. ¿Cómo consigue el hombre cruzar el río con sus tres bienes?

15. EL BATALLÓN (2). Un batallón de soldados debe cruzar un río. En la orilla hay dos niños jugando en un bote. El bote es tan pequeño que sólo da cabida a los dos niños o bien a un soldado. Aún así, todos los soldados, que son muchos, logran cruzar el río en el bote. ¿Cómo?
Supongamos ahora que son 100 los soldados. ¿Cuál es la menor cantidad de travesías requeridas para cruzar a los 100 soldados?

16. MARIDOS CELOSOS (3). Dos parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con el otro hombre. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

17. TRES PAREJAS (4). Tres parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

18. TRES MERCADERES Y TRES SERVIDORES (5). Tres mercaderes estaban de viaje con sus tres servidores. Los mercaderes eran muy ricos y temían que los servidores les asaltarían, apenas fuesen superiores en número.
Llegaron a un río, donde, para atravesarlo, había disponible sólo una pequeña barca que podía llevar como máximo dos personas. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

19. CUATRO PAREJAS (6). Son ahora cuatro las parejas que van a cruzar el río. Las condiciones son exactamente iguales a las del problema de las tres parejas. A primera vista parece que esta nueva cuestión se resuelve "estirando" simplemente la solución de las tres parejas. Pero, ¡no se tire aún al río! Con cuatro parejas no hay solución. A menos que permitamos a los personajes hacer escala en una pequeña isla en medio del río. ¿Cómo cruzaron entonces?

20. TRES MARIDOS CELOSOS (7). Tres parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a tres personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

21. CINCO MARIDOS CELOSOS (8). Cinco parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a tres personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

22. TRAVESÍAS POR PESO (9). Cinco personas que pesan 10, 20, 30, 40 y 50 kg. respectivamente, van a cruzar un río con un bote que sólo admite una carga de 50 a 70 kg. (ni menos de 50 ni más de 70). ¿Cómo cruzarán?

23. MOROS Y CRISTIANOS. Tras la batalla, el sultán Aben-Hazzar, mandó a su Gran Visir reunir a los 15 prisioneros cristianos y a otros 15 moros, con objeto de arrojar al mar a la mitad de ellos.
"Colócalos en círculo y contando de 9 en 9, arroja al agua al que le toque cada vez".
El Gran Visir, que odiaba a los moros, colocó a los 30 prisioneros de tal forma que salvó a los 15 cristianos. ¿Cómo los colocó?

SOLUCIONES DE ESTRATEGIAS - JUEGOS
(Última actualización: ENERO-2002)

1. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-5-3, 7-4-3 ó 7-5-2. Después, cuando volvamos a coger hay que dejar al contrario los siguientes números en cada fila:
1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2.

2. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. La estrategia ganadora es:

3. LLEGAR A 50. La estrategia ganadora es:

4. UNA MOSCA ANTOJADIZA. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así:

O O
O O

Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil.
Probemos con 3x3=9 monedas. Así:

O O O
O O O
O O O

Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible.
Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido.
¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas?
Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:

(-1,1) (0,1) (1,1)
(-1,0) (0,0) (1,0)
(-1,-1) (0,-1) (1,-1)

Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares.
Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:

Impar Par Impar Par ...

Si terminase en impar, habría más vé rtices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar!
Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

5. LA MESA Y LAS MONEDAS. Colocar una moneda en el centro exacto de la mesa.

6. FORMANDO TRIÁNGULOS. Con n rectas: T(n)=n(n-1)(n-2)/6.

7. QUITAR DEL MONTÓN.

8. LOS POLLOS DEL MAIZAL. Se mueva como se mueva, el granjero nunca puede atrapar al gallo, ni su esposa a la gallina. Si el granjero va tras la gallina y su esposa tras el gallo serán fácilmente capturadas. Una de ellas puede atraparse en el octavo movimiento, y la otra en el noveno.

9. UN CALENDARIO CON DOS CUBOS. En el de la izquierda: 0-1-2-6-7-8. En el de la derecha: 3-4-5-0-1-2. El 6 hace las veces de 6 y de 9.

10. SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS. Utilizaremos el siguiente esquema:
L(+3) * M(+2) * X(+1) * J(0) * V(-1) * S(-2) * D(-3)
En el ejemplo concreto: +3+1+1+0-2 = 3.
75 (clave) - 3 = 72 (Suma total de las cifras tachadas)
Otro ejemplo. Si hubiéramos tachado: 26, 13, 7, 23, 4.
+3+2+1-1-3 = 2.
75 (clave) - 2 = 73 (Suma total de las cifras tachadas)
Otro ejemplo. Si hubiéramos tachado: 27, 22, 2, 10, 18.
+2+0-1-2-3 = -4.
75 (clave) - (-4) = 79 (Suma total de las cifras tachadas)

11. RECTÁNGULOS OBSTINADOS. La diagonal corta a 12 cuadrados.
Regla: base + altura - 1.

12. EL BIOP. El primer jugador ocupa la casilla central con un número K cualquiera. Responde a cada jugada del contrario ocupando la casilla simétrica, respecto del centro, con un número "Y" dado por la fórmula: Y (congruente con) 2K-X (módulo 25) donde X es el número del contrario.

13. LAS FICHAS DEL TABLERO. Asignamos a cada casilla un color. Si la casilla tiene ficha, el color asignado es, el de su ficha. Cuando se quita una ficha, ésta ha de ser de color negro, y el color que queda asignado a la casilla es el negro. A partir de ahí el color se cambiará cada vez que retiremos una de las fichas contiguas. De esta forma el color asignado a cada casilla al principio es el de su ficha, y cambiará cada vez que se retire una ficha contigua, haya o no ficha en la casilla.
Llamaremos a las casillas de las esquinas de tipo 1; de tipo 2, a las de los bordes, y de tipo 3 a las interiores al triángulo. Todas ellas están rodeadas por un número par de casillas (2, 4, y 6 respectivamente)
Si es posible retirar todas las fichas, el color de cada casilla habrá cambiado un número par de veces, con lo que todas quedarán como al principio y en consecuencia la casilla de la última ficha retirada quedará blanca, lo que es imposible, porque cada vez que se retira una ficha su color es negro, y el color que deja en la casilla después de ser retirada es el negro.
Es imposible retirar todas las fichas del tablero.

14. ZORRO, CABRA Y REPOLLO (1). Siete travesías:

Orilla 1

Orilla 2

Situación inicial

H Z C R

- - - -

1

Cruza el hombre con la cabra

- Z - R

H - C -

2

Vuelve el hombre solo

H Z - R

- - C -

3

Cruza el hombre con el repollo

- Z - -

H - C R

4

Vuelve el hombre con la cabra

H Z C -

- - - R

5

Cruza el hombre con el zorro

- - C -

H Z - R

6

Vuelve el hombre solo

-H - C

- Z - R

7

Cruza el hombre con la cabra

- - - -

H Z C R

.

15. EL BATALLÓN (2). Cruzan ambos niños. Regresa uno con el bote. Cruza un soldado. Regresa el otro niño. Y se repite el mismo procedimiento hasta pasar todos los soldados. Para cruzar 100 soldados se requieren 397 travesías. Cada soldado, salvo el último, requiere 4 travesías; o sea, 99x4=396 travesías. Y luego cruza el último soldado en un viaje. Por supuesto, los niños quedan en la orilla inicial, pero el bote queda del otro lado.

16. MARIDOS CELOSOS (3). Cinco travesías. Llamemos A, B a los tres hombres y a, b, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *.
1 - ab............ AB*
2 - abA*....... B
3 - a.............. BAb*
4 - Aa*.........
Bb
5 - ................ ABab*

17. TRES PAREJAS (4). Once travesías. Llamemos A, B, C a los tres hombres y a, b, c, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *.
1 - BCbc.............. Aa*
2 - ABCbc*............ a
3 - ABC............... abc*
4 - ABCa*............. bc
5 - Aa................ BCbc*
6 - ABab*............. Cc
7 - ab................ ABCc*
8 - abc*.............. ABC
9 - c................. ABCab*
10 - Cc*............... ABab
11 - ..................
ABCabc*

18. TRES MERCADERES Y TRES SERVIDORES (5). Once travesías. Llamemos M, M, M, a los tres mercaderes y s, s, s, a los servidores. El bote es el asterisco *.
1 - MMMs ss*
2 - MMMss* s
3 - MMM sss*
4 - MMMs* ss
5 - Ms MMss*
6 - MMss* Ms
7 - ss MMMs*
8 - Mss* MMs
9 - s MMMss*
10 - Ms* MMss
11 - MMMsss*

19. CUATRO PAREJAS (6). Diecisiete travesías. Sean A, B, C, D los hombres; a, b, c, d las damas:
1 - ABCDcd................ ab
2 - ABCDbcd............... a
3 - ABCDd........bc.......
a
4 - ABCDcd.......b........ a
5 - CDcd.........b........ ABa
6 - BCDcd........b........ Aa
7 - BCD..........bcd...... Aa
8 - BCDd.........bc....... Aa
9 - Dd...........bc....... ABCa
10 - Dd...........abc...... ABC
11 - Dd...........b........ ABCac
12 - BDd..........b........ ACac
13 - d............b........ ABCDac
14 - d............bc....... ABCDa
15 - d..................... ABCDabc
16 - cd....................
ABCDab
17 - ...................... ABCDabcd

20. TRES MARIDOS CELOSOS (7). Cinco travesías. Llamemos A, B, C a los tres hombres y a, b, c, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *.
1 - ABC abc*
2 - ABCa * bc
3 - a ABCbc*
4 - Aa * BCbc
5 - ABCabc*

21. CINCO MARIDOS CELOSOS (8). Trece travesías. Llamemos A, B, C, D y E a los cinco hombres y a, b, c, d y e a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *.
1 - ABCDEde abc *
2 - ABCDEade * bc
3 - BCDEde Aabc * (A no sale de la barca)
4 - ABCDEde * abc
5 - DEde ABCabc *
6 - ADEade * BCbc
7 - ade ABCDEbc *
8 - Aade * BCDEbc
9 - de ABCDEabc *
10 - Dde * ABCEabc
11 - e ABCDEabcd *
12 - Ee * ABCDabcd
13 - ABCDEabcde *

22. TRAVESÍAS POR PESO (9). Nueve travesías:
1 - 10,30,40 50,20
2 - 10,30,40,50 20
3 - 10,50 30,40,20
4 - 10,20,30,50 40
5 - 10,30 50,20,40
6 - 10,30,50 40,20
7 - 30 10,50,20,40
8 - 40,30 10,20,50
9 - 10,20,30,40,50

2 comentarios:

JUANA ARCOS dijo...

Buenísimo amigo para trabajar en salones de clases y motivar a los estudiantes

David dijo...

Soy de practicar mucho y por eso trato de buscar en internet ejercicios para ponerme al dia. Ahora estaba buscando en internet ejercicios de multiplicación