miércoles, 20 de mayo de 2009

algunos acertijos con sus soluciones

Acertijo:
El alcalde informa que dejará salir de la prisión a una persona al azar para celebrar que hace 25 años que es alcalde, eligen a un hombre y le dicen que quedara libre si saca de dentro de una caja una bola blanca, habiendo dentro 9 bolas negras y solo 1 blanca. El prisionero se entera por un chivatazo que el alcalde pondrá todas las bolas de color negro, al día siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad.
¿Cómo ha conseguido salir de la cárcel si todas las bolas eran negras?

Solución al acertijo:
El recluso sacó una bola, y dijo, es la bola blanca, y la guardó en su bolsillo, el alcalde le pidió que la muestre, y dijo, “no es necesario, pueden observar que solo quedaron bolas negras en la bolsa, por lo tanto la mía es tiene que ser la blanca”.

Acertijo:
Un pastor necesita pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, el posee un bote en el que solo pueden entrar el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra, el lobo se come la cabra, si la cabra se queda sola con la lechuga, la cabra se come la lechuga, ¿cómo debe pasar las tres cosas, sin que nada ni nadie sea comido?.

Solución al acertijo:
El pastor pasa primero a la cabra, deja a esta en la otra orilla y regresa a por el lobo, al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra, deja la cabra y cruza con la lechuga, deja a la lechuga con el lobo y regresa por la cabra.



Acertijo:
Un oso camina 10 kilometros hacia el sur, 10 kilometros hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partio. ¿De que color es el oso?

Solución al acertijo:
El color del oso es blanco, por ser un oso polar. Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida. En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco.



Acertijo:
Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar la moneda diferente.

Solución al acertijo:
Separamos las monedas en 3 grupos de 4 monedas, luego comparamos uno de los grupos contra otro de los grupos.
Si uno de ellos pesa mas que el otro sabemos que las moneda más pesada se encuentra en el grupo mas pesado. Si son iguales, entonces la moneda mas pesada se debería encontrar en el grupo que no pesamos.
Tomamos el grupo más pesado y lo separamos en 2 grupos de dos monedas cada uno.
Tomamos uno de los grupos y lo comparamos con el otro grupo, del más pesado de los dos grupos debemos tomar esas dos monedas y pesarlas y compararlas una con otra.
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miércoles, 13 de mayo de 2009

Problemas de programacion no lineal con soluciones

Buscar las soluciones en: http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html

Problemas de programación lineal

1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

6Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

7Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

8Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.


Problemas resueltos de programación lineal

1

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:


 pantalones
 chaquetas
 disponible
algodón
 1
 1,5
 750
poliéster
 2
 1
 1000

x + 1.5y ≤ 750 flecha 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolución gráfica

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

Resolución gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

Resolución gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €

f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 €

f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.


Problemas resueltos de programación lineal

2

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

1Elección de las incógnitas.

x = nº de lámparas L1

y = nº de lámparas L2

2Función objetivo

f(x, y) = 15x + 10y

3Restricciones

Pasamos los tiempos a horas

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:


 L1
 L2
 Tiempo
Manual
 1/3
 1/2
 100
Máquina
 1/3
 1/6
 80

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .


Problemas resueltos de programación lineal

3

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

1Elección de las incógnitas.

x = camiones de tipo A

y = camiones de tipo B

2Función objetivo

f(x,y) = 30x + 40y

3Restricciones


 A
 B
 Total
Refrigerado
 20
 30
 3 000
No refrigerado
 40
 30
 4 000

20x + 30y ≥ 3 000

40x + 30y ≥ 4 000

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332

f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500

Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.

f(50, 67) = 30 · 50 + 40 ·67 = 4180 Mínimo

El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.


Problemas resueltos de programación lineal

4

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

1Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

2Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

3Restricciones


 X
 Y
 Mínimo
A
 1
 5
 15
B
 5
 1
 15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.


Problemas resueltos de programación lineal

5

Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

1Elección de las incógnitas.

x = P1

y = P2

2Función objetivo

f(x, y) = 6.5x + 7y

3Restricciones


 P1
 P2
 Disponibles
Cuadernos
 2
 3
 600
Carpetas
 1
 1
 500
Bolígrafos
 2
 1
 400

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x,y)= 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo

La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €


Problemas resueltos de programación lineal

6

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

1Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

2Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3Restricciones


 A
 B
 Mínimo
Camisas
 1
 3
 200
Pantalones
 1
 1
 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

y ≥ 10

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.


Problemas resueltos de programación lineal

7

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

1Elección de las incógnitas.

x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas

2Función objetivo

f(x, y) = 2x + y

3Restricciones

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y)= 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y)= 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y)= 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas .


Problemas resueltos de programación lineal

8

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

1Elección de las incógnitas.

x = autobuses pequeños

y = autobuses grandes

2Función objetivo

f(x, y) = 600x + 800y

3Restricciones

40x + 50y ≥ 400

x + y ≤ 9

x ≥ 0

y ≥ 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

gráfica

5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

gráfica

6 Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €

f(0, 9) = 600 · 0 + 800 · 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 6 00 · 5 + 800 · 4 = 6 200 € Mínimo

El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños .


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Metodo de punto fijo

Un punto fijo de una función $ g$, es un número $ p$ tal que $ g(p)=p$. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación $ f(x)=0$ y el de encontrar los puntos fijos de una función $ h(x)$ son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontar las soluciones de una ecuación $ f(x)=0$, podemos definir una función $ g$ con un punto fijo $ p$ de muchas formas; por ejemplo, $ f(x)=x - g(x)$. En forma inversa, si la función $ g$ tiene un punto fijo en $ p$, entonces la función definida por $ f(x)=x - g(x)$ posee un cero en $ p$.

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial $ x_0$ y $ x_{i+1} = g(x_i)$ genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación $ f(x)=0$. A la función $ g$ se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión $ \langle x_n \rangle$ converge siempre y cuando $ x^3+4x^2-10=0$ dentro del intervalo $ [1,2]$.

Lo primero es buscar una función $ g(x)$ adecuada


$\displaystyle x^3 + 4x^2 - 10$ $\displaystyle =$ 0
$\displaystyle x^2 \left(x + 4 \right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 10$
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm \sqrt{\frac{10}{x+4}}$

Y claramente elegimos como función iteradora a

$\displaystyle g(x) = \sqrt{\frac{10}{x+4}} $

además observe que

$ x \in [1,2]$, lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

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